Probabilités – Probabilités conditionnelle et totale

1.       Vocabulaire

Protocole	Description détaillée d’une expérience (ou d’une observation) qui permet sa réplication par d’autres expérimentateurs Exemples : 1- Chronométrer la chute d’un poids de 1kg à 1m du sol 2- Lancer 1 dé à 6 faces en le faisant rouler 3- Mesurer la taille d’un patient avec une toise La possibilité de répliquer une expérience est la condition initiale d’une démarche scientifique
Reproductibilité	Propriété d’obtenir le même résultat par réplication du protocole – Déterministe : exactement le même résultat (voir exemple 1 précédent) – Aléatoire (ou stochastique) : le résultat varie selon des caractéristiques quantifiables (voir exemples 2 & 3) –> Varie par choix de l’individu, du moment, de l’outil,… –> Ce qui est reproductible, c’est comment le résultat varie
Épreuve	Expérience (ou observation) dont le résultat est aléatoire – Mesurer la taille d’une personne choisie au hasard (voir exemple 3)
Événement élémentaire (é.é.)	Correspond au résultat d’une épreuve – Exemple 2 : le dé vaut « 4 ». « 4 » est un é.é. – Exemple 3 : la taille est « 167 cm » L’ensemble des é.é. est noté E : c’est l’ensemble fondamental. E peut être : – Dénombrable (y compris fini) : on peut énumérer tous ses éléments, même si infiniment nombreux –> Exemple 2 : E = {1,2,3,4,5,6} – Indénombrable (c’est-à-dire valeur continue) –> Exemple 3 : E = [0, + ∞)
Événement	Ensemble d’é.é. présentant un caractère commun – Exemple 2 : « face du dé paire » = {« 2 » ; « 4 » ; « 6 »} – Exemple 3 : « taille supérieure à 165 cm » = [165, ∞) Ω est l’ensemble de tous les événements : – C’est l’ensemble de toutes les parties de E. – C’est un ensemble différent de E : –> Exemple 2 : Ω = {Ø,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2} ,{1,3} ,{1,4} ,{1,5} ,…, {1,3,4,5,6},{2,3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6}} –> On ne peut pas toujours l’écrire : exemple 3.

2.       Evénements et ensembles

Un événement = un ensemble d’é.é.

• Exemple : lancer de dé
  • A = {« face 3 » ; « face 4 »}
  • On dit que l’é.é. « face 3 » réalise A.

On peut utiliser les opérations ensemblistes pour définir des événements en combinant des événements (élémentaires) existants par complémentaire, union, intersection

Complémentaire	CA : le complémentaire de A. Tous les é.é. de E qui ne réalisent pas A. On note aussi AC ou Ᾱ. Exemple : lancer de dé – A = {« 3 » ; « 4 »} – CA = {« 1 » ; « 2 » ; « 5 » ; « 6 »}
Union	A U B = A ou B = les é.é. qui réalisent soit A, soit B, soit les 2 Exemple : lancer de dé – A = {« 3 » ; « 4 »} – B = {« 2 » ; « 4 » ; « 5 »} – A U B = {« 2 » ; « 3 » ; « 4 » ; « 5 »}
Intersection	A ∩ B = A et B = les é.é. qui réalisent A et B en même temps Exemple : lancer de dé – A = {« 3 » ; « 4 »} – B = {« 2 » ; « 4 » ; « 5 »} – A ∩ B = {« 4 »}

3.       Incompatibilité

Incompatibilité

Exemple : l’événement « face du dé paire » ne peut pas se produire en même temps que l’événement « face du dé impaire ». => événements incompatibles A, B sont « incompatibles » si A ∩ B = Ø – aucun é.é. ne réalise en même temps A et B – A et B ne se produisent jamais ensemble Remarque : deux é.é. sont toujours incompatibles entre eux

4.       Probabilités

Les probabilités « mesurent » l’occurrence des événements :

• Probabilité 0 => événement impossible
• Probabilité faible => événement peu probable
• Probabilité élevée => événement probable
• Probabilité 1 => événement certain

Comment définir les probabilités en pratique ?

• théoriquement : P(face du dé = 6) = 1/6
• empiriquement : par fréquence, sur la base de l’observation
  • Prévalence de la mucoviscidose à la naissance = 1/9000
    • Prévalence = proportion de la population atteinte de la maladie à une date donnée
  • P(enfant atteint de mucoviscidose à la naissance) = 1/9000
• Subjectivement (peuvent différer d’une personne à l’autre) : P(gagner ce match) = 2/3

Toutes ces définitions sont acceptables tant qu’elles se conforment aux « axiomes du calcul des probabilités ».

« Axiomes » du calcul des probabilités

Axiome = propriété admise qui sert à bâtir une théorie

• Axiome 1 : 0 ≤ P(A) ≤ 1. La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1.
• Axiome 2 : si A et B incompatibles, P(A U B) = P(A) + P(B)
• Axiome 3: P(E) = 1. E est « l’événement certain ».

Calculs usuels

Soit A un événement, C_A son complémentaire, alors P(C_A) = 1 – P(A)

• Remarque : P(Ø) = 0 = 1‐P(E), car Ø complémentaire de E.
• Exemple : P(« dé donne au moins 2 ») = 1 – P(« Dé donne 1 »)

Soit A, B 2 événements, alors P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Définir les probabilités :

Le cas dénombrable	Chaque é.é. ei est associé à une probabilité pi =P(ei) avec Σi pi =1 – Exemple : P(Yeux bleus) = 60%, P(Yeux marrons) = 40% ; 60% + 40% = 1 Un cas fréquent est le cas « fini équiprobable » : – Chaque é.é. ei a la probabilité 1/K, où K est le nombre d’é.é. dans E (le cardinal de E) – Exemples : –> Pile ou Face : P(Pile) = ½ ; P(Face) = ½ –> Dé : P(« 1 ») = 1/6 ; …P(« 6 ») = 1/6
Le cas indénombrable	Dans le cas indénombrable, la probabilité de chaque é.é. est obligatoirement nulle pour respecter l’axiome 3 (P(E) = 1) Il faut définir d’autres outils : la densité de probabilité (voir fiche suivante)

Calcul de la probabilité d’un événement dans le cas dénombrable

Probabilité d’un résultat pair dans un lancer de dé ?

• A = {« 2 » ; « 4 » ; « 6 »} (liste des é.é. qui « réalisent A »)
• P(A)        = P(« 2 » U « 4 » U « 6 »)

               = P(« 2 ») + P(« 4 ») + P(« 6 »)

               = 1/6 + 1/6 + 1/6

               = ½

=> La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le réalisent.

Cas fini équiprobable : P(A) = (nombre d’é.é. réalisant A) / (nombre d’é.é total)

5.       Indépendance

Probabilité d’avoir 2 « Pile » dans 2 lancers successifs ?

P(« Pile 1^er lancer » ∩ « Pile 2^nd lancer »)     = P(« Pile 1^er lancer ») * P(« Pile 2^nd lancer »)

                                                                              = ½ * ½

                                                                              = ¼

Définition

Deux événements A, B sont dits indépendants si P(A ∩ B) = P(A) P(B) – La probabilité qu’ils se réalisent conjointement est le produit de leurs probabilités. Indépendance = la survenue de l’événement A ne donne pas d’information sur la survenue de l’événement B Si A indépendant de B, alors B indépendant de A. Si A indépendant de B, alors A indépendant de CB.

Indépendance et Incompatibilité

Attention : deux notions différentes ! « Yeux bleus » incompatible avec « Yeux marron » – Pas indépendant : si A = « Yeux bleus » se produit, on sait que B = « Yeux marron » ne se produit pas => Deux événements incompatibles ne sont pas indépendants. « Yeux bleus » indépendant de « Sexe féminin » – Indépendants car caractères portés par des chromosomes différents, sélectionnés indépendamment lors de la méiose – Pas incompatible : il existe des personnes qui sont « Yeux bleus » ET « Sexe féminin » => Deux événements indépendants ne sont pas incompatibles. « Yeux bleus » / « Cheveux blonds » : – La région OCA2, proche de HERC2, est impliquée dans la production de mélanine et des Cheveux Blonds – ni incompatible, ni indépendant => Certains événements ne sont ni indépendants, ni incompatibles.

6.       Probabilité conditionnelle et probabilité totale

Probabilité que le dé soit pair (évènement A) ?

• P(A) = ½ (car 3 pairs sur 6)

Si l’on sait déjà que le résultat est ³ 4 (évènement B). Probabilité que le dé soit pair (A) ?

• P(A) = 2/3 (car 2 é.é. pairs sur 3)
• Quand un événement survient, cela peut changer la probabilité d’autres événements

On note P(A|B) la probabilité de A lorsque B s’est produit (ou conditionnellement à B) = « Probabilité de A sachant B »

Calcul d’une probabilité conditionnelle	La probabilité conditionnelle P(A|B) est calculée par : P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) – Remarque : P(A ∩ B) = P(A|B) P(B) – Il faut P(B)>0 : on ne sait pas dire ce qui arrive car un événement impossible ne se réalise jamais Le dé a fait un résultat ³ 4 (B). Probabilité que le dé soit pair (A) ? – A ∩ B = {« 4 » ; « 6 »}, P(A ∩ B ) = 2/6 – P(B) = 3/6 – P(A|B) = (2/6) / (3/6) = 2/3
Attention !	A = « tenter sa chance » (= acheter un billet de loterie) B = « gagner à la loterie » « 100% des gagnants ont tenté leur chance » : P(A|B) = 100% « 1/1 000 000 de ceux qui ont tenté leur chance ont gagné » : P(B|A) = 0,000001% Le sens du conditionnement est essentiel.
Probabilité conditionnelle / Intersection	Les deux notions sont reliées : P(A ∩ B) = P(A|B) P(B) Mais à ne pas confondre : – P(être un homme et avoir les yeux bleus) : P(« Yeux bleus » ∩ « Hommes ») – P(yeux bleus sachant que c’est un homme) : P(« Yeux bleus »|« Homme ») Utiliser « ET » ou « SACHANT » dans les libellés : – « Gyrophare » : Sachant / Chez / Parmi
Probabilité conditionnelle et indépendance	Indépendance des deux caractéristiques : proportion d’yeux bleus chez les femmes = proportion d’yeux bleus chez les hommes = proportion d’yeux bleus dans la population en général A, B indépendants <=> P(A|B) = P(A|BC) = P(A) – Si A, B indépendants, la probabilité de A n’est pas modifiée après que B se soit produit – « pas d’information » entre B et A Justification : – P(A∩B) = P(A) P(B) (si indépendance A, B) – P(A|B) = (P(A) P(B)) / P(B) = P(A)
Lien entre probabilité (totale) et probabilité conditionnelle	La population adulte est féminine à 52% : P(F) = 52% – Femme / Homme constituent une partition de E –> F U H = E; F ∩ H = Ø => P(H) = 1 ‐ 52% = 48% – Tabagisme (évènement S): –> Il y a 30% de fumeurs chez les hommes : P(S|H) = 30% –> Il y a 24% de fumeurs chez les femmes : P(S|F) = 24% Quel pourcentage de la population adulte fume ? – P(S)        = 0,30 * 0,48 + 0,24 * 0,52 = 26,9%                = P(S|H) P(H) + P(S|F) P(F)
Formule de la probabilité totale	Soit une partition de E = B U CB – Partition : B et CB incompatibles, B U CB = E P(A) = P(A|B) P(B) + P(A|CB) P(CB) Preuves : –P(A)       = P(A ∩ E) = P(A ∩ (B U CB))                = P((A ∩ B) U (A ∩ CB))                = P(A ∩ B) + P(A ∩ CB)                = P(A | B) P(B) + P(A | CB) P(CB) – Remarque : extension possible à une partition en plus de 2 parties