Mécanique du point – Champs et potentiel

1.       Champ gravitationnel

Un corps de masse M exerce dans l’espace qui l’entoure ainsi que celui qu’il occupe des forces gravitationnelles attractives sur un élément matériel de masse m en présence.

Ainsi, le corps M est la source d’un champ gravitationnel où r est la position de l’élément soumis au champ par rapport à ce corps.

Tout élément présent dans l’espace subira une force créée par le champ :

Dans le cas d’une interaction gravitationnelle :

Le champ gravitationnel produit par le corps de masse M prend la forme :

Remarque :

Si l’élément de masse m n’est soumis qu’à une seule interaction gravitationnelle, on peut écrire :

Soit :

L’accélération a, indépendante de l’élément, est égale en chaque point au champ gravitationnel en ce point. Cette propriété est la traduction de l’identité entre masse inertielle et masse gravitationnelle.

Un champ est une grandeur qui remplit l’espace. Elle évolue simultanément en fonction du temps en tout point de l’espace.

2.       Le potentiel du champ

Remarque : voir Rappels et compléments de mathématiques sur le « gradient d’une fonction scalaire » et l’« intégration ».

On peut montrer d’une façon générale que quel que soit le champ considéré, on peut définir une fonction (ou champ) scalaire V, appelée le potentiel du champ telle que le champ vectoriel dérive de ce potentiel.

Cette opération de dérivation est appelée gradient de la fonction scalaire :

Du fait de la différentiation, le potentiel est défini à une constante près V₀ :

3.       Champ et potentiel gravitationnels

Remarque : voir Rappels et compléments de mathématiques sur l’« intégration ».

Dans le cas d’un champ gravitationnel :

On introduit le potentiel gravitationnel tel que :

Ainsi :

Sous forme intégrale :

Finalement :

On prendra en général V(ꚙ) = 0, ainsi V₀ = 0. Mais ce n’est pas systématique !

4.       Applications

4.1.    La chute libre

Considérons un corps de masse m, initialement à la hauteur z = h, qui tombe sous l’effet de la gravité. Déterminons l’expression de sa vitesse d’arrivée au sol en nous servant des lois de Newton.

La seconde loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) :

L’accélération est constante :

Détermination de la vitesse :

Conditions initiales :

Equation horaire :

A l’arrivée au sol à l’instant t’ : z(t’) = 0. De plus, z₀ = h.

Equation du second degré

Remarque : voir Rappels et compléments de mathématiques sur les « équations du second degré ».

L’équation admet donc deux solutions :

Pour t > 0, on gardera la réponse suivante :

Qui est bien positive car :

Vitesse au sol :

4.2.    Le pendule simple

Une masse ponctuelle m, à l’extrémité inférieure d’une tige sans masse de longueur l, pivote librement autour de son extrémité supérieure.

Nous voulons déterminer la fréquence (ou la pulsation ω) naturelle d’oscillation du pendule en nous servant des lois de Newton :

Les deux forces agissant sur ma masse m sont :

1. Le poids de la masse ponctuelle :
2. La tension du fil qui retient la masse :

L’accélération a pour expression :

En appliquant la seconde loi de Newton au système, on établit l’équation du mouvement :

On a vu qu’en coordonnées cylindriques :

Dans notre problème : ρ = l = cste, z = cste et ϕ = θ

On se place dans le cas des faibles déviations du pendule par rapport à sa position d’équilibre (θ << 1).

Remarque : voir Rappels et compléments de mathématiques sur « l’approximation d’une fonction au voisinage d’un point ».

En première approximation : sin aθ ≈ aθ.

Pour les faibles déviations du pendule par rapport à sa position d’équilibre, l’équation du mouvement d’un pendule simple est déterminée par une équation différentielle du second ordre sans second membre :

On montre que c’est l’équation d’un oscillateur harmonique :

De pulsation ω (v = ω/2π est la fréquence d’oscillation) et d’amplitude A. ϕ dépend des conditions initiales.

Vérifions cette solution :

Ainsi :

Avec :